Modellierung Industrieller Prozesse

Modelle sind essenzielle Abstraktionen der Realität und in der Ingenieurwissenschaft unverzichtbar. Ihr Nutzen ist vielfältig:

• Analyse und Verständnis: Ein Modell erlaubt es, das oft komplexe Zusammenspiel von Ursache und Wirkung in einem Prozess zu verstehen. Man kann system-dynamische Eigenschaften wie Stabilität, Geschwindigkeit und Genauigkeit systematisch analysieren.
• Simulation und Vorhersage: Mit einem validierten Modell können "Was-wäre-wenn"-Szenarien gefahrlos und kostengünstig am Computer simuliert werden. Dies ermöglicht die Vorhersage des Systemverhaltens bei Störungen, Parameteränderungen oder neuen Betriebspunkten, ohne die reale Anlage zu gefährden.
• Regler- und Steuerungsentwurf: Dies ist der wichtigste Anwendungsfall in der Regelungstechnik. Ein mathematisches Modell der Regelstrecke ist die zwingende Voraussetzung für den systematischen Entwurf eines Reglers (z.B. PID-Regler). Die Reglerparameter werden auf Basis des Modells berechnet, um ein gewünschtes Führungs- und Störverhalten zu erreichen.
• Optimierung: Prozesse können mittels Modellen optimiert werden, um z.B. den Energieverbrauch zu minimieren, den Durchsatz zu maximieren oder die Produktqualität zu verbessern.

Lineare, zeitinvariante Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang (LTI-SISO) werden durch grundlegende Übertragungsglieder beschrieben, die oft als Bausteine für komplexe Modelle dienen:

• P-Glied (Proportionalglied): Der Ausgang ist direkt proportional zum Eingang. Es hat keine Verzögerung. Übertragungsfunktion: $G(s) = K_P$.
• I-Glied (Integralglied): Der Ausgang ist das Zeitintegral des Eingangs. Es summiert den Eingang über die Zeit auf und kann bleibende Regelabweichungen ausgleichen. Übertragungsfunktion: $G(s) = \frac{1}{T_I s}$.
• D-Glied (Differentialglied): Der Ausgang ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit des Eingangs. Es reagiert vorausschauend auf Änderungen. Übertragungsfunktion: $G(s) = T_D s$.
• PT1-Glied (Verzögerungsglied 1. Ordnung): Das häufigste dynamische Glied. Es beschreibt Systeme mit einem Energiespeicher (z.B. thermische Kapazität, RC-Glied). Übertragungsfunktion: $G(s) = \frac{K}{1+Ts}$.
• PT2-Glied (Verzögerungsglied 2. Ordnung): Beschreibt Systeme mit zwei Energiespeichern. Es kann im Gegensatz zum PT1-Glied ein schwingendes (periodisches) Verhalten aufweisen. Übertragungsfunktion: $G(s) = \frac{K}{1+2DTs+T^2s^2}$.
• Totzeitglied (T_t-Glied): Verursacht eine reine Zeitverschiebung zwischen Eingang und Ausgang, z.B. durch Transportvorgänge. Übertragungsfunktion: $G(s) = e^{-T_t s}$.

1. Beispiel 1: Aufheizen eines Wasserkochers
   • Beschreibung: Die Heizspirale (Eingang: elektrische Leistung) erwärmt das Wasser (Ausgang: Temperatur). Die Wärmeenergie wird in der thermischen Kapazität des Wassers gespeichert.
   • Systemart: PT1-Glied (mit Annahme von Wärmeverlusten an die Umgebung).
   • Ordnung: 1. Ordnung, da es einen dominanten Energiespeicher gibt (die im Wasser gespeicherte Wärmeenergie).
2. Beispiel 2: Fahrzeug-Stoßdämpfer (Feder-Masse-Dämpfer-System)
   • Beschreibung: Das Fahrzeug überfährt eine Bodenwelle (Eingang: Störung). Die Federung und der Stoßdämpfer sollen die Karosseriebewegung (Ausgang) dämpfen.
   • Systemart: PT2-Glied. Das System ist schwingungsfähig.
   • Ordnung: 2. Ordnung, da es zwei Energiespeicher gibt: die potentielle Energie in der komprimierten Feder und die kinetische Energie der sich bewegenden Fahrzeugmasse.

Die Systemordnung ist eine fundamentale Eigenschaft eines dynamischen Systems und gibt an, "wie viel Gedächtnis" das System hat. Sie ist formal definiert als:

• Die höchste Ableitung der Ausgangsgröße in der das System beschreibenden Differentialgleichung.
• Der Grad des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion $G(s)$.

Physikalisch entspricht die Systemordnung der Anzahl der unabhängigen Energiespeicher im System. Jeder Energiespeicher fügt der Systemdynamik eine Verzögerung bzw. eine "Trägheit" hinzu.

Analyse: Die Übertragungsfunktion lautet $G(s) = 1 + \frac{1}{T_N s} = \frac{T_N s + 1}{T_N s}$.
Systemordnung: 1. Der Nenner hat mit $T_N s$ die höchste Potenz $s^1$.
Systemtyp: 1. Der Nenner enthält den Term $s^1$, was einem reinen Integrator entspricht.
Benennung: PI-Regler (Proportional-Integral-Regler). Die 1 steht für den P-Anteil, der $1/(T_N s)$-Term für den I-Anteil. Ideal zur Ausregelung bleibender Abweichungen.

Analyse: Dies ist eine Differentialgleichung. Durch Laplace-Transformation erhält man $T s Y(s) + Y(s) = K U(s)$, woraus die Übertragungsfunktion $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{1+Ts}$ folgt.
Systemordnung: 1. Die höchste Ableitung ist $\dot{y}(t)$ (1. Ordnung), und der Nennergrad ist 1.
Systemtyp: 0. Der Nenner enthält keinen reinen $s$-Term (keinen Pol bei $s=0$).
Benennung: PT1-Glied (Verzögerungsglied 1. Ordnung).

Analyse: Laplace-Transformation führt zu $(a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s) = sU(s)$. Die Übertragungsfunktion ist $G(s) = \frac{s}{a_2s^2+a_1s+a_0}$.
Systemordnung: 2. Die höchste Ableitung der Ausgangsgröße $y(t)$ ist $\ddot{y}(t)$ (2. Ordnung).
Systemtyp: 0. Obwohl ein $s$ im Zähler steht (differenzierender Anteil), gibt es keinen reinen $s$-Term im Nenner.
Benennung: D-T2-Glied. Es kombiniert ein Verzögerungsverhalten 2. Ordnung (Nenner) mit einem differenzierenden Anteil (Zähler).

Analyse: Dies ist die normierte DGL für ein System 2. Ordnung. $G(s) = \frac{K}{T^2s^2+2DTs+1}$.
Systemordnung: 2. Die höchste Ableitung ist $\ddot{y}(t)$.
Systemtyp: 0. Kein Pol bei $s=0$.
Benennung: PT2-Glied. Der Parameter $D$ ist der Dämpfungsgrad, der bestimmt, ob das System schwingt ($D<1$), aperiodisch ($D>1$) oder am aperiodischen Grenzfall ($D=1$) ist.

Analyse: Die Übertragungsfunktion ist direkt gegeben.
Systemordnung: 1. Der Nennergrad ist 1.
Systemtyp: 0. Kein Pol bei $s=0$.
Benennung: PD-T1 Glied oder Lead-Lag-Glied. Es kombiniert eine PT1-Verzögerung mit einem PD-Anteil (vorausschauend), was oft zur Beschleunigung des Regelkreises eingesetzt wird.

Analyse: Die Übertragungsfunktion ist direkt gegeben.
Systemordnung: 1. Der Nennergrad ist 1.
Systemtyp: 1. Der Nenner ist $s^1$, das System hat also einen reinen Integrator.
Benennung: Dies ist die Übertragungsfunktion eines idealen PID-Reglers mit einem zusätzlichen Filterterm 2. Ordnung ($K_3s^2$). Da der Zählergrad (2) größer als der Nennergrad (1) ist, ist dieses System nicht kausal und in dieser reinen Form physikalisch nicht realisierbar. In der Praxis werden solche Regler immer mit zusätzlichen Filtergliedern höherer Ordnung implementiert.

Das entscheidende Merkmal ist die S-förmige Krümmung der Ausgangskurve $y(t)$.

• Die Steigung der Kurve ist zum Zeitpunkt des Sprungs ($t=2s$) gleich Null.
• Sie steigt danach an, erreicht in einem Wendepunkt ihr Maximum und flacht dann zum Endwert hin wieder ab.

Ein System 1. Ordnung (PT1-Glied) hätte seine maximale Steigung direkt zu Beginn des Sprungs und würde sofort ohne Verzögerung ansteigen. Die S-Form ist das klassische Kennzeichen für ein System von mindestens 2. Ordnung (z.B. ein PT2-Glied oder die Reihenschaltung mehrerer PT1-Glieder).

Analyse der Signalverläufe:

• Eingangssprung bei $t=2s$: von $u=0$ auf $u=1.5$. Die Sprunghöhe ist $\Delta u = 1.5$.
• Ausgangssignal $y(t)$ stabilisiert sich bei einem konstanten Endwert $y(\infty) \approx 4.8$.

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b1) Systemtyp und Systemordnung:

• Da der Ausgang für einen konstanten Eingang auf einen neuen konstanten Wert geht und nicht unendlich ansteigt, besitzt das System keinen integralen Anteil. Systemtyp ist 0.
• Wie in a) festgestellt, deutet die S-Form auf eine Ordnung $\geq 2$ hin. Wir modellieren es als System 2. Ordnung (PT2-Glied).

b2) Zugehörige Parameter ($K_s, T_1, T_2$):

• Verstärkungsfaktor $K_s$: Gibt das stationäre Verhältnis von Ausgang zu Eingang an. $$K_s = \frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{y(\infty) - y(0)}{u(\infty) - u(0)} = \frac{4.8 - 0}{1.5 - 0} = 3.2$$
• Zeitkonstanten $T_1, T_2$: Wir verwenden hier das Wendetangentenverfahren als geeignetes Verfahren zur Schätzung.
  1. Wir legen eine Tangente an den Wendepunkt der Kurve (ca. bei $t \approx 5.5s$).
  2. Diese Tangente schneidet die untere Asymptote ($y=0$) bei $t \approx 3.5s$ (dies ist die Verzugszeit $T_u$) und die obere Asymptote ($y=4.8$) bei $t \approx 9.5s$.
  3. Die Ausgleichszeit ist damit $T_g = 9.5s - 3.5s = 6.0s$.
  4. Für ein PT2-System können die Zeitkonstanten aus $T_u$ und $T_g$ geschätzt werden. Gängige Faustformeln (z.B. nach Strejc) für aperiodische PT2-Systeme ergeben Werte in der Größenordnung von $T_1 \approx 4.2s$ und $T_2 \approx 1.8s$. Diese Werte erfüllen die Bedingung $T_1 > 3T_2$ nicht ganz, was auf die Ungenauigkeit grafischer Verfahren hindeutet. Für die weiteren Rechnungen nehmen wir jedoch diese geschätzten Werte an.

b3) Differentialgleichung:

Ein PT2-System mit den Parametern $K_s, T_1, T_2$ hat die Übertragungsfunktion $G(s) = \frac{K_s}{(1+T_1s)(1+T_2s)}$. Ausmultipliziert ergibt das $G(s) = \frac{K_s}{1+(T_1+T_2)s+T_1T_2s^2}$.

Die zugehörige Differentialgleichung lautet:

$$ T_1T_2\ddot{y}(t) + (T_1+T_2)\dot{y}(t) + y(t) = K_s u(t) $$

Mit unseren Werten ($T_1T_2 \approx 7.56$, $T_1+T_2 \approx 6.0$, $K_s=3.2$):

$$ 7.56\ddot{y}(t) + 6.0\dot{y}(t) + y(t) = 3.2 u(t) $$

Basierend auf den in b) ermittelten Parametern $K_s=3.2$, $T_1=4.2s$ und $T_2=1.8s$ lautet die Übertragungsfunktion des modellierten PT2-Gliedes:

$$ G(s) = \frac{K_s}{(1+T_1s)(1+T_2s)} = \frac{3.2}{(1+4.2s)(1+1.8s)} $$ Pol-Nullstellenplan:

• Nullstellen: Das System hat keine Nullstellen (Zähler ist eine Konstante).
• Pole: Die Pole sind die Nullstellen des Nennerpolynoms. Sie bestimmen die Stabilität und das Zeitverhalten.
  • $1+4.2s = 0 \implies s_1 = -\frac{1}{4.2} \approx -0.238$
  • $1+1.8s = 0 \implies s_2 = -\frac{1}{1.8} \approx -0.556$

Beide Pole sind reell und negativ. Sie liegen auf der negativen reellen Achse der s-Ebene. Das System ist daher stabil und aperiodisch (nicht schwingend), was gut zur beobachteten Sprungantwort passt.

Der Frequenzgang $G(j\omega)$ beschreibt das Verhalten des Systems für sinusförmige Eingangssignale. Er entsteht durch die Ersetzung $s \to j\omega$ in der Übertragungsfunktion aus c):

$$ G(j\omega) = \frac{3.2}{(1+j4.2\omega)(1+j1.8\omega)} $$

Das Bodediagramm visualisiert Betrag und Phase dieses Frequenzgangs und wird hier in der vereinfachten Asymptotennäherung (Skelettlinien) beschrieben.

Schritt 1: Knickfrequenzen bestimmen

Die Knickfrequenzen sind die Kehrwerte der Zeitkonstanten. An diesen Stellen "knickt" der Amplitudengang im Diagramm ab.

• $\omega_{k1} = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{4.2} \approx 0.238$ rad/s
• $\omega_{k2} = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{1.8} \approx 0.556$ rad/s

Schritt 2: Amplitudengang skizzieren

• Für $\omega < \omega_{k1}$: Der Betrag ist konstant und entspricht dem Gleichspannungsanteil. In dB: $A_{dB} = 20 \log_{10}(K_s) = 20 \log_{10}(3.2) \approx +10.1$ dB. Die Linie verläuft horizontal.
• Für $\omega_{k1} < \omega < \omega_{k2}$: An der ersten Knickfrequenz $\omega_{k1}$ fügt der erste PT1-Anteil eine Steigung von -20 dB/Dekade hinzu. Die Linie fällt nun mit dieser Steigung.
• Für $\omega > \omega_{k2}$: An der zweiten Knickfrequenz $\omega_{k2}$ fügt der zweite PT1-Anteil eine weitere Steigung von -20 dB/Dekade hinzu. Die Gesamtsteigung beträgt nun -40 dB/Dekade.

Schritt 3: Phasengang skizzieren

• Für $\omega \to 0$: Die Phase ist $0^\circ$.
• Jeder PT1-Anteil verursacht eine Phasenverschiebung von $-90^\circ$. Der Übergang geschieht hauptsächlich im Bereich einer Dekade um die jeweilige Knickfrequenz.
• Bei $\omega_{k1}$ beträgt die Phase ca. $-45^\circ$. Sie nähert sich dann $-90^\circ$.
• Bei $\omega_{k2}$ beginnt die zweite Phasenverschiebung. Die Gesamtphase beträgt hier ca. $-90^\circ - 45^\circ = -135^\circ$.
• Für $\omega \to \infty$: Die Gesamtphasenverschiebung nähert sich der Summe beider Anteile an: $-90^\circ - 90^\circ = -180^\circ$.