Integral Mastery – Fläche zwischen zwei Funktionen

Nächste Stufe • Jetzt ist nicht mehr die x-Achse die Begrenzung

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet man mit oben minus unten

Bis jetzt war die x-Achse die untere Begrenzung. Jetzt kommt der allgemeinere und wichtigere Fall: Zwei Funktionen begrenzen gemeinsam eine Fläche. Dann interessiert nicht mehr der Abstand zur x-Achse, sondern der vertikale Abstand zwischen oberem und unterem Graphen. Genau deshalb lautet die zentrale Idee dieser Seite:

\[ A=\int_a^b \bigl(f_{\text{oben}}(x)-f_{\text{unten}}(x)\bigr)\,dx \]

Das wirkt zuerst neu, ist aber logisch: In jedem kleinen senkrechten Streifen ist die Höhe der Fläche gleich „oberer y-Wert minus unterer y-Wert“. Diese Höhen werden dann über das ganze Intervall aufsummiert.

Oben

Zuerst musst du sicher erkennen, welcher Graph im Intervall oben liegt.

Unten

Danach ziehst du den unteren Funktionsterm vom oberen ab.

Schnittpunkte

Sie liefern die Grenzen und zeigen oft, wo man bei wechselnder Lage aufteilen muss.

Warum gilt „oben minus unten“?

Diese Herleitung ist der Kern der ganzen Seite. Wenn du sie verstehst, kannst du fast alle Schulaufgaben zu Flächen zwischen zwei Funktionen sauber lösen.

Δy

Gedanke mit einem dünnen Streifen

Stell dir die Fläche zwischen zwei Graphen als viele sehr dünne senkrechte Streifen vor. Jeder dieser Streifen hat:

\[ \text{Höhe} = y_{\text{oben}} - y_{\text{unten}} \] \[ \text{Höhe} = f_{\text{oben}}(x)-f_{\text{unten}}(x) \]

Die Breite dieses kleinen Streifens ist \(dx\). Deshalb ist seine kleine Fläche näherungsweise:

\[ dA = \bigl(f_{\text{oben}}(x)-f_{\text{unten}}(x)\bigr)\,dx \]

Wenn du nun alle diese kleinen Streifen von links nach rechts aufsummierst, entsteht:

\[ A=\int_a^b \bigl(f_{\text{oben}}(x)-f_{\text{unten}}(x)\bigr)\,dx \]

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Wichtige Bedeutung

Es geht nicht um den Abstand zur x-Achse, sondern um den Abstand der beiden Graphen zueinander.

obere Funktion

untere Funktion

Flächenstreifen

Typischer Denkfehler: Man integriert einfach beide Funktionen irgendwie oder zieht die Stammfunktionen durcheinander ab. Richtig ist immer zuerst die Frage:

\[ \text{Wer liegt oben? Wer liegt unten?} \]

Erst dann wird der Differenzterm gebildet.

Die Standardmethode Schritt für Schritt

Diese Reihenfolge ist für fast jede Klausuraufgabe geeignet.

Schnittpunkte bestimmen

Setze beide Funktionen gleich, also \(f(x)=g(x)\). Die Lösungen liefern die Berühr- oder Schnittstellen.

Obere Funktion finden

Prüfe im Intervall, welche Funktion tatsächlich oberhalb der anderen liegt.

Differenz bilden

Setze immer „oben minus unten“ an, niemals umgekehrt.

Integrieren

Integriere den Differenzterm zwischen den passenden Grenzen.

Vollständige Herleitung an einem Musterbeispiel

Dieses Beispiel ist absichtlich sehr sauber ausgeschrieben, damit du den kompletten Ablauf klar siehst.

Beispiel 1: Fläche zwischen \(f(x)=x+1\) und \(g(x)=1\) im Intervall von \(x=0\) bis \(x=3\)

Schritt 1: Graphische Situation verstehen

Die Funktion \(g(x)=1\) ist eine waagerechte Gerade. Die Funktion \(f(x)=x+1\) ist eine steigende Gerade. Im Intervall \([0,3]\) liegt \(f(x)=x+1\) oberhalb von \(g(x)=1\), außer am linken Rand bei \(x=0\), wo beide gleich sind.

Schritt 2: Höhenfunktion der Fläche bilden

Die Höhe jedes senkrechten Flächenstreifens ist:

\[ f(x)-g(x)=(x+1)-1=x \]

Genau dieser Funktionsterm beschreibt also den vertikalen Abstand der beiden Graphen.

Schritt 3: Flächenintegral aufschreiben

\[ A=\int_0^3 \bigl((x+1)-1\bigr)\,dx \] \[ A=\int_0^3 x\,dx \]

Schritt 4: Stammfunktion bestimmen

\[ F(x)=\frac{x^2}{2} \]

Schritt 5: Grenzen einsetzen

\[ A=F(3)-F(0)=\frac{9}{2}-0=\frac{9}{2} \]

Ergebnis

\[ A=\frac{9}{2}=4{,}5 \]

Beispiel mit echten Schnittpunkten

Jetzt kommt der klassische Fall, bei dem die Integrationsgrenzen aus den Schnittpunkten entstehen.

Beispiel 2: Fläche zwischen \(f(x)=x\) und \(g(x)=x^2\)

Schritt 1: Schnittpunkte berechnen

\[ x=x^2 \] \[ x^2-x=0 \] \[ x(x-1)=0 \] \[ x=0 \quad \text{oder} \quad x=1 \]

Schritt 2: Obere und untere Funktion bestimmen

Im Intervall \([0,1]\) gilt:

\[ x > x^2 \]

Also liegt \(f(x)=x\) oben und \(g(x)=x^2\) unten.

Schritt 3: Flächenansatz

\[ A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx \]

Schritt 4: Integrieren

\[ \int (x-x^2)\,dx = \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \]

Schritt 5: Auswerten

\[ A=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =\frac12-\frac13 =\frac16 \]

Ergebnis

\[ A=\frac16 \]

Woran erkennt man die obere Funktion sicher?

Dieser Punkt ist extrem wichtig, denn hier passieren die meisten Vorzeichenfehler.

Graphisch

Wenn eine Skizze vorhanden ist, kannst du direkt sehen, welcher Graph im Intervall über dem anderen liegt.

Mit Testwert

Wähle einen x-Wert im Intervall und vergleiche die Funktionswerte. Der größere y-Wert gehört zur oberen Funktion.

\[ \text{z. B. } x=0{,}5 \]

Mit Differenz

Untersuche \(f(x)-g(x)\). Ist die Differenz im Intervall positiv, dann liegt \(f\) oben.

Interaktives Vergleichs-Labor

Wähle zwei Funktionen. Rechts siehst du Schnittpunkte, obere Funktion, Flächenansatz und Flächeninhalt.

Fläche zwischen zwei Graphen Beispiel 1

obere Funktion

untere Funktion

gesuchte Fläche

Beispiel wählen

Schnittpunkte / Grenzen

0 und 1

Ansatz

\(x-x^2\)

Flächeninhalt

\(1/6\)

Was du hier sehen sollst: Zwischen den Schnittpunkten wird immer die obere Funktion minus die untere Funktion integriert.

Zusätzliche Beispiele

Hier kommen noch mehrere typische Schulformen, damit die Methode wirklich sitzt.

\(f(x)=2,\ g(x)=x\)

Schnittpunkt:

\[ 2=x \Rightarrow x=2 \]

Im Intervall \([0,2]\) liegt \(2\) oben und \(x\) unten:

\[ A=\int_0^2 (2-x)\,dx \]

\(f(x)=x^2+1,\ g(x)=1\)

Hier ist die obere Funktion leicht zu erkennen:

\[ x^2+1 \ge 1 \]

Im vorgegebenen Intervall gilt direkt:

\[ A=\int_a^b \bigl((x^2+1)-1\bigr)\,dx=\int_a^b x^2\,dx \]

Wichtiger Warnfall

Wenn sich obere und untere Funktion innerhalb des betrachteten Bereichs tauschen, musst du aufteilen — genau wie bei Nullstellen.

\[ A=A_1+A_2+\dots \]

Noch ausführlicheres Musterbeispiel mit Parabel und Gerade

Dieses Beispiel ist etwas reicher und zeigt den kompletten Standardweg in einer typischen Oberstufenaufgabe.

Beispiel 3: Fläche zwischen \(f(x)=2-x^2\) und \(g(x)=x\)

Schritt 1: Schnittpunkte berechnen

\[ 2-x^2 = x \] \[ 2-x^2-x=0 \] \[ x^2+x-2=0 \] \[ (x+2)(x-1)=0 \] \[ x=-2 \quad \text{oder} \quad x=1 \]

Schritt 2: Obere Funktion prüfen

Wir testen zum Beispiel \(x=0\), weil \(0\) zwischen \(-2\) und \(1\) liegt:

\[ f(0)=2,\qquad g(0)=0 \]

Also liegt \(f(x)=2-x^2\) im gesamten Intervall \([-2,1]\) oberhalb von \(g(x)=x\).

Schritt 3: Flächenansatz bilden

\[ A=\int_{-2}^{1} \bigl((2-x^2)-x\bigr)\,dx \] \[ A=\int_{-2}^{1} (2-x-x^2)\,dx \]

Schritt 4: Stammfunktion bestimmen

\[ F(x)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \]

Schritt 5: Grenzen einsetzen

\[ A=F(1)-F(-2) \] \[ F(1)=2-\frac12-\frac13=\frac76 \] \[ F(-2)=-4-\frac{4}{2}+\frac{8}{3}=-6+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3} \] \[ A=\frac76-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac76+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac92 \]

Ergebnis

\[ A=\frac92=4{,}5 \]

Typische Fehler

Diese Fehler passieren bei Flächen zwischen zwei Funktionen besonders oft.

Funktionen nicht gleichgesetzt

Ohne Schnittpunkte fehlen dir oft die richtigen Integrationsgrenzen.

Unten minus oben gerechnet

Dann wird das Integral negativ oder falsch. Immer zuerst die Lage prüfen.

Lagewechsel übersehen

Wenn sich obere und untere Funktion tauschen, musst du aufteilen.

Zu früh integriert

Erst Differenzterm bilden, dann integrieren. Nicht zwei Integrale chaotisch vermischen.

Selbsttest mit Eingabe

Gib jeweils nur den Flächeninhalt an.

Ü1

Aufgabe 1

Berechne die Fläche zwischen \(f(x)=x\) und \(g(x)=x^2\).

Bestimme zuerst die Schnittpunkte und prüfe dann, wer zwischen ihnen oben liegt.

Ü2

Aufgabe 2

Berechne die Fläche zwischen \(f(x)=x+1\) und \(g(x)=1\) im Intervall \([0,3]\).

Denke an die Differenz „oben minus unten“.

Mini-Check

Prüfe, ob die Methode jetzt wirklich sitzt.

Frage 1

Welche Grundformel ist für die Fläche zwischen zwei Funktionen richtig?

Frage 2

Warum berechnet man oft zuerst Schnittpunkte?

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Wenn du jetzt Schnittpunkte sicher bestimmen, obere und untere Funktion korrekt erkennen und den Flächenansatz „oben minus unten“ sauber integrieren kannst, dann kannst du diese Seite als abgeschlossen markieren.