Wie wahrscheinlich ist es, bei zehn Münzwürfen genau sieben Mal Kopf zu bekommen? Oder dass in einer Lieferung von 50 Bauteilen höchstens drei defekt sind? Solche Fragen beantwortet die Binomialverteilung – eine der zentralen Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Stochastik und ein Dauerthema in jedem Mathematik-Abitur.
Das Bernoulli-Experiment als Grundlage
Die Binomialverteilung baut auf dem Bernoulli-Experiment auf. Das ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen: Treffer oder kein Treffer, Erfolg oder Misserfolg, Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer nennt man p, die für keinen Treffer entsprechend 1 − p.
Wiederholst du dieses Experiment n-mal unter identischen Bedingungen und sind die Versuche voneinander unabhängig, entsteht eine sogenannte Bernoulli-Kette. Die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit dabei genau k Treffer auftreten, beantwortet die Binomialverteilung.
Die Formel im Detail
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Versuchen lautet:
P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k
Die drei Bausteine erfüllen jeweils einen klaren Zweck:
- Der Binomialkoeffizient C(n, k) – gesprochen "n über k" – zählt, auf wie viele verschiedene Arten sich die k Treffer auf die n Versuche verteilen lassen. Bei drei Treffern in fünf Würfen gibt es zum Beispiel zehn mögliche Reihenfolgen.
- pk ist die Wahrscheinlichkeit für die k Treffer.
- (1 − p)n − k ist die Wahrscheinlichkeit für die übrigen n − k Nicht-Treffer.
Da die Binomialkoeffizienten und Potenzen schnell unhandlich werden, lohnt sich ein Werkzeug: Mit dem Binomialverteilung Rechner gibst du einfach n, p und k ein und bekommst die exakte Wahrscheinlichkeit ohne Rechenfehler.
Genau, höchstens und mindestens k Treffer
In Aufgaben wird selten nur nach "genau k" gefragt. Drei Formulierungen tauchen ständig auf, und ihre Unterscheidung ist prüfungsrelevant:
- Genau k Treffer: Du berechnest P(X = k) direkt mit der Formel.
- Höchstens k Treffer: Du summierst alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k, also P(X ≤ k). Das ist die kumulierte Verteilung.
- Mindestens k Treffer: Hier nutzt du das Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Das spart viel Rechenarbeit.
Der Binomialverteilung Rechner gibt dir alle drei Werte – genau, höchstens und mindestens – gleichzeitig aus, sodass du dir die Summenbildung sparst.
Erwartungswert und Standardabweichung
Zwei Kennzahlen beschreiben die Verteilung kompakt. Der Erwartungswert beträgt μ = n · p und gibt an, wie viele Treffer du im Durchschnitt erwartest. Bei 100 Münzwürfen sind das 50 Mal Kopf. Die Standardabweichung ist σ = √(n · p · (1 − p)) und beschreibt die Streuung um diesen Erwartungswert. Wenn du das Konzept der Streuung vertiefen willst, hilft dir der Standardabweichung Rechner.
Ein konkretes Beispiel
Ein Multiple-Choice-Test hat zehn Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten. Jemand rät rein zufällig, die Trefferwahrscheinlichkeit ist also p = 0,25 bei n = 10. Wie wahrscheinlich ist es, mindestens fünf Fragen richtig zu raten?
Der Erwartungswert liegt bei μ = 10 · 0,25 = 2,5 Treffern. Fünf oder mehr richtige Antworten liegen deutlich darüber, sind also unwahrscheinlich. Die Berechnung über das Gegenereignis ergibt einen Wert von rund 7,8 % – Raten allein reicht also selten zum Bestehen.
Wann die Binomialverteilung gilt
Vier Bedingungen müssen erfüllt sein: feste Anzahl an Versuchen, nur zwei Ausgänge pro Versuch, konstante Trefferwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit der Versuche. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die letzte Bedingung verletzt – dann brauchst du stattdessen die hypergeometrische Verteilung. Bei großem n und kleinem p lässt sich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung annähern. Weitere Rechner rund um Stochastik und Mathematik findest du in den kotsch.tech Webtools.