Das rechtwinklige Dreieck ist die wohl wichtigste Figur der gesamten Geometrie. Aus ihm leiten sich der Satz des Pythagoras, die Trigonometrie und unzählige praktische Berechnungen ab – vom Dachstuhl über die Treppe bis zur Diagonale eines Bildschirms. Dieser Ratgeber zeigt dir, wie du Seiten, Fläche und Winkel sauber berechnest.
Aufbau eines rechtwinkligen Dreiecks
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90 Grad. Die beiden Seiten, die diesen rechten Winkel einschließen, heißen Katheten (oft a und b). Die gegenüberliegende, längste Seite heißt Hypotenuse (c). Diese feste Benennung ist die Grundlage für alle weiteren Formeln.
Der Satz des Pythagoras
Der berühmteste Satz der Mathematik verbindet die drei Seiten:
a² + b² = c²
Kennst du zwei Seiten, berechnest du die dritte. Die Hypotenuse ergibt sich als c = √(a² + b²), eine fehlende Kathete als a = √(c² − b²). Genau das macht der Dreieck Rechner: Du gibst die bekannten Werte ein und erhältst Hypotenuse, Fläche und Winkel auf einen Blick.
Beispiel: Hypotenuse berechnen
Gegeben sind die Katheten a = 3 und b = 4.
- a² + b² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5
Das ist das klassische 3-4-5-Dreieck, das schon antike Baumeister nutzten, um rechte Winkel mit einer geknoteten Schnur abzustecken.
Die Fläche eines Dreiecks
Beim rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten gleichzeitig Grundseite und Höhe. Die Fläche ist daher besonders einfach:
A = (a · b) / 2
Im Beispiel oben ergibt sich A = (3 · 4) / 2 = 6 Flächeneinheiten. Bei beliebigen Dreiecken gilt allgemein A = (Grundseite · Höhe) / 2 – beim rechtwinkligen Dreieck fällt die Höhe einfach mit einer Kathete zusammen.
Winkel berechnen mit Sinus, Kosinus und Tangens
Die Trigonometrie verknüpft die Winkel mit den Seitenverhältnissen. Für einen der beiden spitzen Winkel α gilt:
- Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
- Kosinus: cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
- Tangens: tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
Den Winkel selbst erhältst du über die Umkehrfunktionen (arcsin, arccos, arctan). Im 3-4-5-Dreieck ist tan(α) = 3/4 = 0,75, also α ≈ 36,87 Grad. Der zweite spitze Winkel ergibt sich, weil die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad beträgt: 180 − 90 − 36,87 = 53,13 Grad. Diese Umrechnungen nimmt dir der Dreieck Rechner automatisch ab.
Praktische Anwendungen
Rechtwinklige Dreiecke stecken überall: in der Diagonale eines Fernsehers, im Gefälle einer Rampe, in der Länge eines Dachsparrens oder in der Steigung einer Treppe. Auch Handwerker prüfen die Rechtwinkligkeit von Räumen mit der 3-4-5-Methode. Wer eine Diagonale eines rechteckigen Bildschirms aus Breite und Höhe berechnet, nutzt im Kern denselben Satz des Pythagoras.
Verwandte Berechnungen
Wenn du Parabeln und Schnittpunkte berechnest, hilft der Quadratische Gleichung Rechner, und für runde Formen ist der Kreis Rechner der passende Begleiter. Eine ganze Reihe weiterer Mathe- und Geometrie-Werkzeuge findest du in den kostenlosen Webtools.
Häufige Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Hypotenuse mit einer Kathete zu verwechseln. Merke dir: Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber und ist stets die längste Seite. Achte außerdem darauf, ob dein Taschenrechner mit Grad (DEG) oder Bogenmaß (RAD) rechnet – ein falscher Modus liefert sinnlose Winkel. Ein Online-Rechner umgeht dieses Problem, weil er die Einheit eindeutig ausgibt.