Wie viele verschiedene Passwörter lassen sich aus vier Ziffern bilden? Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 49 Zahlen sechs anzukreuzen? Solche Fragen beantwortet die Kombinatorik – das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Zählen von Anordnungen und Auswahlen beschäftigt. Der Schlüssel ist, zwei einfache Fragen richtig zu beantworten: Spielt die Reihenfolge eine Rolle, und dürfen sich Elemente wiederholen?
Die zwei entscheidenden Fragen
Bevor du überhaupt eine Formel anwendest, klärst du immer zwei Dinge:
- Reihenfolge wichtig? Ist „A, B, C“ etwas anderes als „C, B, A“? Wenn ja, sprichst du von einer Variation (englisch: Permutation, nPr). Wenn nein, von einer Kombination (nCr).
- Wiederholung erlaubt? Darf ein Element mehrfach vorkommen, oder wird jedes nur einmal verwendet?
Aus diesen beiden Fragen ergeben sich vier Grundfälle. Genau diese deckt der Kombinatorik Rechner ab, sodass du nicht die richtige Formel aus dem Kopf kennen musst.
Variation: Reihenfolge zählt
Bei einer Variation ohne Wiederholung ziehst du k Elemente aus n und die Reihenfolge ist relevant – jedes Element aber nur einmal. Beispiel: In einem Rennen mit 8 Läufern werden die ersten drei Plätze vergeben. Da Gold, Silber und Bronze unterschiedlich sind, zählt die Reihenfolge. Die Anzahl ist:
nPr = n! / (n − k)! = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336 mögliche Podestbesetzungen.
Bei einer Variation mit Wiederholung darf jedes Element mehrfach auftreten. Das ist der klassische Fall beim vierstelligen Zahlencode: Jede der 4 Stellen kann eine von 10 Ziffern sein, also 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 Möglichkeiten. Allgemein: n^k.
Kombination: Reihenfolge egal
Bei einer Kombination ohne Wiederholung wählst du k Elemente aus n, und die Reihenfolge spielt keine Rolle. Das berühmteste Beispiel ist das Lotto „6 aus 49“: Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die sechs Zahlen ankreuzt. Die Anzahl berechnet sich über den Binomialkoeffizienten:
nCr = n! / (k! × (n − k)!) = 49! / (6! × 43!) = 13.983.816 mögliche Tippreihen.
Daraus folgt direkt die bekannte Gewinnwahrscheinlichkeit für sechs Richtige von etwa 1 zu 14 Millionen. Eine Kombination mit Wiederholung tritt seltener auf, etwa wenn du aus mehreren Eissorten drei Kugeln auswählst und dieselbe Sorte mehrfach nehmen darfst.
Der Zusammenhang mit der Fakultät
Alle diese Formeln bauen auf der Fakultät auf. Variation und Kombination unterscheiden sich nur dadurch, ob du zusätzlich durch k! teilst, um die als gleich geltenden Reihenfolgen herauszurechnen. Wenn du die Grundlagen der Fakultät auffrischen willst, hilft dir der Fakultaet Rechner beim Nachrechnen der Einzelwerte.
Eine Eselsbrücke für den Alltag
Wenn du dir unsicher bist, frage dich: „Ist das wie ein Zahlenschloss oder wie ein Salat?“ Beim Zahlenschloss kommt es auf die Reihenfolge an (1-2-3 öffnet, 3-2-1 nicht) – das ist eine Variation. Beim Salat ist es egal, in welcher Reihenfolge du Tomate, Gurke und Paprika hineinwirfst – das ist eine Kombination. Diese kleine Frage führt dich fast immer zur richtigen Formel.
Weitere Rechenhelfer rund um Wahrscheinlichkeit, Statistik und Zahlentheorie findest du in der Übersicht der Webtools.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Variation?
Bei der Variation ist die Reihenfolge wichtig, bei der Kombination nicht. „A, B“ und „B, A“ sind zwei verschiedene Variationen, aber dieselbe Kombination. Deshalb gibt es immer mehr Variationen als Kombinationen derselben Auswahl.
Wann darf ich mit Wiederholung rechnen?
Immer dann, wenn ein Element mehrfach gewählt werden darf – etwa Ziffern in einem Code oder Würfe eines Würfels. Wird jedes Element nach der Wahl „entfernt“, wie beim Ziehen ohne Zurücklegen, rechnest du ohne Wiederholung.
Warum ist das Lotto eine Kombination und keine Variation?
Weil beim Lotto die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle spielt. Ob die 7 als erste oder als letzte Zahl gezogen wird, ändert nichts an deinem Gewinn. Damit liegt eine Kombination ohne Wiederholung vor.