Bruchrechnen wirkt für viele wie ein Buch mit sieben Siegeln – dabei steckt dahinter nur eine Handvoll klarer Regeln. In dieser Anleitung lernst du Schritt für Schritt, wie du Brüche kürzt, erweiterst, addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst – mit durchgerechneten Beispielen, einer Übersichtstabelle und Übungen samt Lösung.
Am Ende rechnest du Brüche nicht nur richtig, sondern verstehst auch warum die Regeln funktionieren. Versprochen: Es ist leichter, als du denkst.
🍕 Was ist ein Bruch eigentlich?
Ein Bruch beschreibt einen Teil eines Ganzen. Stell dir eine Pizza vor, die du in 4 gleiche Stücke schneidest. Nimmst du 3 davon, hast du 34 der Pizza – also drei Viertel. Ein Bruch besteht immer aus zwei Zahlen:
- Zähler (oben): Wie viele Teile du nimmst. Im Beispiel die 3.
- Nenner (unten): In wie viele Teile das Ganze geteilt ist. Hier die 4.
Eine einfache Eselsbrücke: Der Nenner steht unten und sagt, wie viel Nach unten geteilt wird. Ist der Zähler genauso groß wie der Nenner, ist der Bruch genau 1 – denn 44 ist die ganze Pizza.
🎯 Das Fundament
- Ein Bruch ist nichts anderes als eine Division: 34 bedeutet 3 geteilt durch 4 = 0,75.
- Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst oder durch dieselbe Zahl teilst.
- Genau das ist der Schlüssel zum Kürzen und Erweitern – die wichtigste Grundfertigkeit beim Bruchrechnen.
✂️ Kürzen und Erweitern
Kürzen und Erweitern sind die zwei Seiten derselben Medaille. Beide verändern das Aussehen des Bruchs, nicht aber seinen Wert.
Kürzen – Brüche kleiner machen
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Das macht den Bruch übersichtlicher.
Tipp: Suche immer den größten gemeinsamen Teiler (ggT), dann bist du in einem Schritt fertig. Bei 1218 ist der ggT 6, also 1218 = 23.
Erweitern – Brüche „aufblasen“
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Das brauchst du, um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Profi-Tipp: Kürze einen Bruch immer so weit wie möglich, bevor du weiterrechnest. Kleine Zahlen verhindern Rechenfehler und du erkennst Ergebnisse leichter.
➕ Addieren und Subtrahieren
Hier kommt es auf den Nenner an – und nur auf den. Beim Multiplizieren ist das später anders, also pass auf, dass du die Regeln nicht verwechselst.
Gleicher Nenner
Du addierst (oder subtrahierst) nur die Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
Ungleicher Nenner
Erst gleichnamig machen: Beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern (am besten das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV). Dann erst die Zähler addieren.
Zum Schluss kürzen
Prüfe immer, ob sich das Ergebnis noch kürzen lässt, z. B. 46 = 23.
Rechne 34 − 16:
- Gemeinsamer Nenner: kgV von 4 und 6 ist 12.
- Erweitern: 34 = 912 und 16 = 212.
- Zähler subtrahieren: 912 − 212 = 712.
- Kürzen? 7 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler. Ergebnis: 712.
✖️ Multiplizieren und Dividieren
Das Schöne: Hier brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Multiplizieren ist sogar einfacher als Addieren.
Multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner – fertig.
Dividieren
Durch einen Bruch teilen heißt: mit dem Kehrwert multiplizieren. Den Kehrwert bekommst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Alle Regeln auf einen Blick
| Rechenart | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Addieren | Gleichnamig machen, dann Zähler addieren, Nenner bleibt. | 1⁄2 + 1⁄3 = 5⁄6 |
| Subtrahieren | Gleichnamig machen, dann Zähler subtrahieren. | 3⁄4 − 1⁄6 = 7⁄12 |
| Multiplizieren | Zähler · Zähler, Nenner · Nenner. | 2⁄3 · 4⁄5 = 8⁄15 |
| Dividieren | Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren. | 3⁄4 : 2⁄5 = 15⁄8 |
Cleverer Kniff beim Multiplizieren: Du darfst „über Kreuz“ kürzen, bevor du rechnest. Bei 23 · 34 kürzt du die 3 oben mit der 3 unten und die 2 mit der 4 – das spart Arbeit und liefert 12.
🔢 Gemischte Zahlen umwandeln
Eine gemischte Zahl wie 2 13 ist eine ganze Zahl plus ein Bruch. Zum Rechnen wandelst du sie meist in einen unechten Bruch um (Zähler größer als Nenner).
Ganze Zahl · Nenner + Zähler, das Ganze über den alten Nenner:
Zurück geht es per Division mit Rest: 73 = 7 : 3 = 2 Rest 1, also wieder 2 13.
Häufiger Stolperstein: Beim Addieren nie die Nenner mitaddieren! 12 + 12 ist 1, nicht 24. Nenner werden nur beim Multiplizieren multipliziert.
⚠️ Die 4 typischen Fehler
- Nenner addiert: 13 + 13 ist 23, nicht 26.
- Beim Mal gleichnamig gemacht: Multiplizieren braucht keinen gemeinsamen Nenner.
- Kehrwert vergessen: Beim Teilen wird der zweite Bruch gestürzt, nicht der erste.
- Nicht gekürzt: 48 ist nicht falsch, aber unschön – als Lösung erwartet man 12.
📝 Übungen mit Lösung
Rechne erst selbst, dann klappe die Lösung auf. So merkst du sofort, wo es noch hakt.
Aufgabe 1: Kürze 1824 so weit wie möglich.
Der ggT von 18 und 24 ist 6. → 1824 = 34
Aufgabe 2: Berechne 25 + 310.
Gemeinsamer Nenner 10: 25 = 410. Dann 410 + 310 = 710
Aufgabe 3: Berechne 38 · 49.
3·48·9 = 1272, gekürzt durch 12 = 16
Aufgabe 4: Berechne 56 : 23.
Mit Kehrwert: 56 · 32 = 1512, gekürzt durch 3 = 54 = 1 14
Aufgabe 5: Wandle 3 25 in einen unechten Bruch um.
3 · 5 + 2 = 17, über 5 → 175
⭐ Das Wichtigste in Kürze
- Kürzen/Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren oder teilen – der Wert bleibt gleich.
- Plus/Minus: Erst gleichnamig machen, dann nur die Zähler verrechnen.
- Mal: Zähler · Zähler, Nenner · Nenner – ohne gemeinsamen Nenner.
- Geteilt: Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.
- Immer am Ende: So weit wie möglich kürzen.
❓ Häufige Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern?
- Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und machst den Bruch kleiner und übersichtlicher. Beim Erweitern multiplizierst du beide mit derselben Zahl, meist um zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Der Wert des Bruchs bleibt in beiden Fällen unverändert.
- Warum muss man beim Addieren von Brüchen den gleichen Nenner haben?
- Weil du nur gleich große Teile zusammenzählen kannst. Ein Viertel und ein Drittel sind unterschiedlich große Stücke. Erst wenn beide auf denselben Nenner gebracht sind – also in gleich große Teile zerlegt werden – darfst du die Zähler addieren.
- Wie dividiert man durch einen Bruch?
- Du multiplizierst mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Beispiel: 3⁄4 : 2⁄5 = 3⁄4 · 5⁄2 = 15⁄8.
- Wie wandle ich eine gemischte Zahl in einen Bruch um?
- Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Das Ergebnis schreibst du über den alten Nenner. Aus 2 1⁄3 wird so (2·3+1)⁄3 = 7⁄3.
- Muss ich das Ergebnis immer kürzen?
- Rechnerisch ist ein ungekürzter Bruch nicht falsch, aber in der Schule wird fast immer die vollständig gekürzte Form erwartet. Prüfe darum am Ende stets, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, und kürze ihn dann vollständig.
- Was bedeutet ggT und kgV beim Bruchrechnen?
- Der größte gemeinsame Teiler (ggT) hilft beim Kürzen: Teilst du durch ihn, ist der Bruch in einem Schritt voll gekürzt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) brauchst du beim Addieren und Subtrahieren, um den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner zu finden.