Integral Mastery – Fläche zur x-Achse

Erste echte Flächenanwendung • Integral wird geometrisch

Die Fläche zur x-Achse mit dem bestimmten Integral berechnen

Jetzt wird das bestimmte Integral geometrisch genutzt: Wenn ein Graph im betrachteten Intervall vollständig oberhalb der x-Achse liegt, dann entspricht das bestimmte Integral genau dem Flächeninhalt zwischen Funktion, x-Achse und den senkrechten Grenzen. Das ist der erste klassische Flächentyp in der Integralrechnung.

Intervall

Die Fläche wird immer in einem festen Bereich von \(a\) bis \(b\) betrachtet.

Integral

Wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt, ist der Integralwert direkt der Flächeninhalt.

Wichtig

Diese Seite behandelt bewusst zuerst den einfachen Fall ohne Vorzeichenprobleme.

Die Grundidee

In dieser ersten Flächenform ist die Situation noch besonders klar.

Wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt

Liegt \(f(x)\) im ganzen Intervall \([a,b]\) oberhalb der x-Achse, dann gilt:

\[ A = \int_a^b f(x)\,dx \]

In diesem Fall ist der Integralwert direkt der gesuchte Flächeninhalt.

Auswertung

Zur Berechnung nutzt du wie gewohnt eine Stammfunktion \(F\) von \(f\):

\[ A = \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \]

Der einzige Unterschied zum vorherigen Kapitel ist jetzt die Deutung als Fläche.

Vollständiges Musterbeispiel

Genau so wird eine einfache Fläche zwischen Funktion und x-Achse sauber berechnet.

Beispiel: Berechne die Fläche zwischen \(f(x)=2x\), der x-Achse und den Geraden \(x=1\) und \(x=3\).

Schritt 1: Prüfen, ob der Graph oberhalb der x-Achse liegt

Im Intervall von \(1\) bis \(3\) ist \(2x\) positiv. Also liegt der Graph vollständig oberhalb der x-Achse.

Schritt 2: Fläche als Integral aufschreiben

\[ A=\int_1^3 2x\,dx \]

Schritt 3: Stammfunktion bestimmen

\[ F(x)=x^2 \]

Schritt 4: Grenzen einsetzen

\[ A=F(3)-F(1)=3^2-1^2=9-1=8 \]

Ergebnis

\[ A=8 \]

Woran erkennt man diesen einfachen Flächenfall?

Diese Merkmale sollten dir sofort auffallen.

Die x-Achse ist Begrenzung

Eine Seite der Fläche ist die x-Achse, also die Gerade \(y=0\).

Ein festes Intervall ist gegeben

Die Fläche wird zwischen zwei senkrechten Grenzen \(x=a\) und \(x=b\) betrachtet.

Der Graph bleibt oberhalb

Nur dann darfst du den Flächeninhalt direkt mit dem bestimmten Integral gleichsetzen.

Flächenlabor

Verschiebe die Grenzen und wähle eine Funktion. Beobachte, wie sich der markierte Flächenbereich und der Wert ändern.

Fläche zwischen Graph und x-Achse Funktion: \(2x\)

Untere Grenze \(a\) 1.0

Obere Grenze \(b\) 3.0

Funktion wählen

Stammfunktion

\(x^2\)

Flächenansatz

\(F(b)-F(a)\)

Flächeninhalt

8.00

Worauf du achten sollst: Solange die Funktion im ganzen Intervall oberhalb der x-Achse liegt, entspricht das bestimmte Integral direkt dem Flächeninhalt.

Weitere Beispiele

Diese Aufgabenform solltest du sicher auswerten können.

\(\int_0^2 (x+1)\,dx\)

\[ F(x)=\frac{x^2}{2}+x \] \[ A=F(2)-F(0)=\left(2+2\right)-0=4 \]

\(\int_1^2 5\,dx\)

\[ F(x)=5x \] \[ A=F(2)-F(1)=10-5=5 \]

\(\int_0^1 (x^2+1)\,dx\)

\[ F(x)=\frac{x^3}{3}+x \] \[ A=F(1)-F(0)=\frac13+1=\frac43 \]

Wichtiger Übergang zur nächsten Seite

Diese Warnung ist sehr wichtig, damit später keine typischen Fehler entstehen.

✓

Hier klappt es direkt

Wenn der Graph komplett oberhalb der x-Achse liegt, dann ist:

\[ A = \int_a^b f(x)\,dx \]

Aber nicht immer

Sobald der Graph die x-Achse schneidet oder unter ihr liegt, ist der Integralwert nicht automatisch gleich dem Flächeninhalt.

\[ \text{Integralwert} \neq \text{immer Flächeninhalt} \]

Genau das wird auf der nächsten Seite behandelt.

Selbsttest mit Eingabe

Rechne den Flächeninhalt aus und gib nur den Zahlenwert ein.

Ü1

Aufgabe 1

Berechne die Fläche zwischen \(f(x)=2x\), der x-Achse und \(x=0\), \(x=2\).

Bestimme zuerst eine Stammfunktion und setze dann die Grenzen ein.

Ü2

Aufgabe 2

Berechne die Fläche zwischen \(f(x)=x+1\), der x-Achse und \(x=1\), \(x=3\).

Nutze \(F(x)=\frac{x^2}{2}+x\).

Mini-Check

Prüfe, ob die Grundidee der ersten Flächenform sitzt.

Frage 1

Wann darf man den Flächeninhalt direkt mit dem bestimmten Integral gleichsetzen?

Frage 2

Welche Formel beschreibt diesen einfachen Flächenfall richtig?

Seite als verstanden markieren

Wenn du jetzt Flächen zwischen Funktion und x-Achse im einfachen Fall sicher berechnen kannst und weißt, dass der Graph dafür im Intervall oberhalb der x-Achse liegen muss, dann kannst du diese Seite als abgeschlossen markieren.