Integral Mastery – Bestimmtes Integral

Übergang zum nächsten großen Thema • Feste Grenzen statt \(+C\)

Das bestimmte Integral arbeitet mit festen Grenzen \(a\) und \(b\)

Bisher ging es um das unbestimmte Integral und damit um ganze Stammfunktions-Familien. Jetzt kommt ein neuer Schritt dazu: feste Grenzen. Das bestimmte Integral liefert keinen Funktionsterm mehr, sondern einen konkreten Zahlenwert. Dieser Wert ist eng mit dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse verbunden.

Grenzen

Das Integral läuft jetzt von einer unteren Grenze \(a\) zu einer oberen Grenze \(b\).

Zahl

Das Ergebnis ist jetzt ein konkreter Zahlenwert und keine Stammfunktion mehr.

Auswertung

Berechnet wird mit einer Stammfunktion über \(F(b)-F(a)\).

Die Definition des bestimmten Integrals

Das ist die zentrale Formel dieser Seite.

∫

Schreibweise

Das bestimmte Integral einer Funktion \(f\) von \(a\) bis \(b\) schreibt man so:

\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

\(a\) ist die untere Grenze, \(b\) die obere Grenze.

Auswertungsregel

Wenn \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, dann gilt:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \]

Genau diese Formel ist das Rechenwerkzeug für das bestimmte Integral.

Unbestimmt gegen bestimmt

Diese Unterscheidung ist extrem wichtig.

Unbestimmtes Integral

\[ \int f(x)\,dx = F(x)+C \]

Ergebnis: eine ganze Familie von Stammfunktionen.

Bestimmtes Integral

\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

Ergebnis: ein einzelner Zahlenwert.

Wichtige Folge

Beim bestimmten Integral taucht \(+C\) nicht im Endergebnis auf, weil sich die Konstanten beim Differenzbilden wegheben.

\[ (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a) \]

Vollständiges Musterbeispiel

Genau so sollte ein bestimmtes Integral sauber ausgewertet werden.

Beispiel: \(\int_1^3 2x\,dx\)

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen

\[ F(x)=x^2 \]

Eine Stammfunktion von \(2x\) ist \(x^2\).

Schritt 2: Grenzen einsetzen

\[ \int_1^3 2x\,dx = F(3)-F(1) \] \[ = 3^2 - 1^2 \]

Schritt 3: Ausrechnen

\[ 9-1=8 \]

Ergebnis

\[ \int_1^3 2x\,dx = 8 \]

Weitere wichtige Eigenschaften

Diese Regeln tauchen in Aufgaben sehr häufig auf.

↔

Grenzen vertauschen

Wenn du obere und untere Grenze vertauschst, ändert sich das Vorzeichen.

\[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \]

Gleiche Grenzen

Wenn Anfang und Ende gleich sind, ist das Integral immer \(0\).

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0 \]

Interaktives Integral-Labor

Verschiebe die Grenzen und beobachte, wie sich der Flächenbereich und der Integralwert ändern.

Graph und markiertes Integralintervall Funktion: \(2x\)

Untere Grenze \(a\) 1.0

Obere Grenze \(b\) 3.0

Funktion wählen

Stammfunktion

\(x^2\)

Auswertung

\(F(b)-F(a)\)

Integralwert

8.00

Was du hier sehen sollst: Das bestimmte Integral hängt von den Grenzen ab. Es misst die aufsummierte Wirkung der Funktion im Intervall von \(a\) bis \(b\).

Geometrische Bedeutung

In vielen Schulaufgaben wird das bestimmte Integral als Flächeninhalt interpretiert — aber dabei muss man auf das Vorzeichen achten.

Oberhalb der x-Achse

Liegt der Graph im ganzen Intervall oberhalb der x-Achse, dann entspricht das Integral dem Flächeninhalt.

−

Unterhalb der x-Achse

Liegt der Graph unter der x-Achse, wird das Integral negativ. Das ist wichtig für spätere Flächenaufgaben.

Integralwert ≠ immer Fläche

Der reine Integralwert ist nicht automatisch derselbe wie der gesuchte Flächeninhalt. Das wird auf den nächsten Seiten genauer behandelt.

Weitere Beispiele

Diese Formen solltest du sicher auswerten können.

\(\int_0^2 5\,dx\)

\[ F(x)=5x \] \[ \int_0^2 5\,dx = 5\cdot2 - 5\cdot0 = 10 \]

\(\int_1^3 x^2\,dx\)

\[ F(x)=\frac{x^3}{3} \] \[ \int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \]

\(\int_3^1 2x\,dx\)

\[ \int_3^1 2x\,dx = -( \int_1^3 2x\,dx ) \] \[ = -8 \]

Selbsttest mit Eingabe

Rechne die Integrale aus und gib nur den Zahlenwert ein.

Ü1

Aufgabe 1

Berechne \(\int_1^2 2x\,dx\).

Bestimme zuerst eine Stammfunktion und setze dann obere minus untere Grenze ein.

Ü2

Aufgabe 2

Berechne \(\int_0^3 5\,dx\).

Die Stammfunktion einer Konstanten ist linear.

Mini-Check

Prüfe, ob die Grundidee des bestimmten Integrals sitzt.

Frage 1

Was ist das Ergebnis eines bestimmten Integrals?

Frage 2

Welche Auswertungsregel ist richtig?

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Wenn du jetzt das bestimmte Integral sicher vom unbestimmten Integral unterscheiden kannst, die Formel \(F(b)-F(a)\) sauber anwendest und die Rolle der Grenzen verstanden hast, dann kannst du diese Seite als abgeschlossen markieren.