Integral Mastery – Integrationsregeln

Regelübersicht • Die wichtigsten Formen sicher erkennen

Die wichtigsten Integrationsregeln und Standardformen auf einen Blick

Jetzt kommen die Regeln, mit denen du den größten Teil der Schulaufgaben lösen kannst. Ziel ist nicht, blind Formeln auswendig zu lernen, sondern Muster sicher zu erkennen: Potenzen, Konstanten, Summen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und einfache lineare Verkettungen.

Regeln

Du bekommst die zentralen Schulregeln sauber und übersichtlich zusammengefasst.

Muster

Du lernst, Funktionstypen direkt zu erkennen und die passende Regel zuzuordnen.

Praxis

Die Formen stammen genau aus den typischen Aufgaben der PDF und der Oberstufe.

Die drei Grundregeln

Mit diesen drei Regeln kannst du schon einen großen Teil typischer Aufgaben bearbeiten.

Potenzregel

Die wichtigste Schulregel beim Integrieren von Potenzfunktionen.

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \qquad (n\neq -1) \]

Faktorregel

Ein konstanter Faktor bleibt beim Integrieren erhalten.

\[ \int k\cdot f(x)\,dx = k\cdot \int f(x)\,dx \]

Summenregel

Eine Summe oder Differenz wird gliedweise integriert.

\[ \int (f(x)\pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx \]

Wichtige Standardformen aus der Schule

Diese Integrale solltest du direkt wiedererkennen.

Potenzen, Konstanten und Wurzeln

\[ \int 1\,dx = x + C \] \[ \int x\,dx = \frac{x^2}{2}+C \] \[ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C \] \[ \int x^{-2}\,dx = -x^{-1}+C \] \[ \int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2}+C \]

Trigonometrische und exponentielle Formen

\[ \int e^x\,dx = e^x + C \] \[ \int \sin(x)\,dx = -\cos(x)+C \] \[ \int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C \] \[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C \]

Einfache lineare Verkettungen

In deiner PDF tauchen auch Formen auf wie \(\cos(3x)\), \(e^{2x}\) oder \(\sin(4x-1)\). Hier musst du auf den Faktor der inneren Ableitung achten.

\(\int \cos(3x)\,dx\)

\[ \int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x)+C \]

Der Faktor \(3\) innen führt dazu, dass außen durch \(3\) geteilt wird.

\(\int e^{2x}\,dx\)

\[ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}+C \]

Auch hier musst du den inneren Faktor \(2\) ausgleichen.

\(\int \sin(4x-1)\,dx\)

\[ \int \sin(4x-1)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x-1)+C \]

Innen steckt die lineare Funktion \(4x-1\). Deshalb erscheint außen der Faktor \(\frac14\).

Typische Erkennungsmuster

So solltest du beim Blick auf eine Funktion denken.

Ist es eine Potenz?

Dann zuerst an die Potenzregel denken: Exponent erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen.

Steht ein Faktor davor?

Dann den Faktor einfach stehen lassen und nur den Funktionsteil integrieren.

Ist es eine Summe?

Dann gliedweise arbeiten und jedes Glied einzeln integrieren.

Steckt innen ein \(ax+b\)?

Dann prüfen, ob außen zusätzlich durch den inneren Faktor geteilt werden muss.

Interaktiver Regeltrainer

Wähle eine typische Funktion. Darunter siehst du direkt die passende Regel, das Muster und das Ergebnis.

🎯

Funktion auswählen

Muster

Potenzfunktion

Regel

Potenzregel

Schrittidee

Exponent +1

\[ \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}+C \]

Warum genau diese Regel? \(x^4\) ist eine reine Potenzfunktion. Deshalb wird der Exponent um \(1\) erhöht und anschließend durch den neuen Exponenten geteilt.

Kleine Merkliste für Standardaufgaben

①

Erst sortieren

Schau zuerst: Potenz, Summe, Konstante, trigonometrische Funktion oder Exponentialfunktion?

②

Dann Regel wählen

Wende nie blind eine Formel an, sondern entscheide zuerst, welcher Funktionstyp vorliegt.

③

Am Ende \(+C\)

Vergiss beim unbestimmten Integral nie die Integrationskonstante.

Typische Fehler

Diese Stolperstellen passieren besonders oft.

\(+C\) vergessen

Beim unbestimmten Integral gehört die Integrationskonstante immer dazu.

Falsch durchgeteilt

Nach dem Erhöhen des Exponenten muss durch den neuen Exponenten geteilt werden – nicht durch den alten.

∿

Vorzeichen bei \(\sin\)

\(\int \sin(x)\,dx = -\cos(x)+C\) wird sehr oft mit falschem Vorzeichen notiert.

Inneren Faktor übersehen

Bei \(\cos(3x)\), \(e^{2x}\) oder \(\sin(4x-1)\) muss der innere Faktor mitgedacht werden.

Mini-Check

Prüfe, ob du die Regeln schon sicher zuordnen kannst.

Frage 1

Welche Stammfunktion gehört zu \(f(x)=x^3\)?

Frage 2

Welche Stammfunktion ist richtig?

Seite als verstanden markieren

Wenn du jetzt die wichtigsten Integrationsregeln sicher benennen kannst, Standardformen direkt erkennst und bei einfachen linearen Verkettungen den inneren Faktor beachtest, dann kannst du diese Seite als abgeschlossen markieren.