Integral Mastery – Stammfunktion mit Bedingung

Nächster Schritt • Aus allgemeiner Stammfunktion wird eine konkrete Funktion

Eine Stammfunktion mit Bedingung bestimmt die Konstante \(C\)

Bisher hast du immer allgemeine Stammfunktionen der Form \(F(x)+C\) bestimmt. In vielen Aufgaben reicht das aber nicht. Dann bekommst du zusätzlich eine Bedingung, zum Beispiel einen Punkt oder einen Funktionswert. Damit lässt sich die Konstante \(C\) eindeutig festlegen — und aus der ganzen Funktionsfamilie wird genau eine konkrete Stammfunktion.

Allgemein

Zuerst bestimmst du wie gewohnt eine allgemeine Stammfunktion mit \(+C\).

Einsetzen

Dann nutzt du die Zusatzbedingung und setzt den gegebenen Punkt oder Wert ein.

Eindeutig

So erhältst du eine einzige konkrete Stammfunktion statt einer ganzen Familie.

Die Grundmethode in drei Schritten

Diese Reihenfolge solltest du immer gleich anwenden.

Allgemeine Stammfunktion bilden

Zuerst integrierst du wie gewohnt und schreibst die Integrationskonstante mit dazu: \[ F(x)=\dots + C \]

Bedingung einsetzen

Dann nutzt du die gegebene Information, zum Beispiel \[ F(2)=5 \] oder einen Punkt \((2|5)\).

\(C\) berechnen

Aus dem Einsetzen entsteht eine Gleichung. Diese löst du nach \(C\) auf und setzt den Wert wieder ein.

Vollständiges Musterbeispiel

Genau so solltest du solche Aufgaben in der Schule sauber aufschreiben.

Beispiel: Bestimme eine Stammfunktion von \(f(x)=2x\), die durch den Punkt \((2|7)\) geht.

Schritt 1: Allgemeine Stammfunktion bestimmen

\[ F(x)=x^2 + C \]

Schritt 2: Punktbedingung einsetzen

Der Punkt \((2|7)\) bedeutet:

\[ F(2)=7 \]

Schritt 3: In die allgemeine Stammfunktion einsetzen

\[ 2^2 + C = 7 \] \[ 4 + C = 7 \] \[ C = 3 \]

Schritt 4: Konkrete Stammfunktion angeben

\[ F(x)=x^2+3 \]

Was bedeutet die Zusatzbedingung genau?

Oft werden Aufgaben unterschiedlich formuliert, meinen aber dasselbe.

Punktform

„Die Stammfunktion geht durch den Punkt \((a|b)\)“ heißt genau:

\[ F(a)=b \]

Der x-Wert wird eingesetzt, und das Ergebnis muss der y-Wert sein.

Wertform

„Es gilt \(F(3)=10\)“ bedeutet dasselbe wie: Der Punkt \((3|10)\) liegt auf dem Graphen der Stammfunktion.

\[ F(3)=10 \quad \Leftrightarrow \quad (3|10) \]

Weitere typische Beispiele

Diese Aufgabenformen kommen besonders oft vor.

\(f(x)=3x^2,\; F(1)=6\)

\[ F(x)=x^3+C \] \[ F(1)=6 \Rightarrow 1+C=6 \] \[ C=5 \] \[ F(x)=x^3+5 \]

\(f(x)=5,\; F(0)=2\)

\[ F(x)=5x+C \] \[ F(0)=2 \Rightarrow C=2 \] \[ F(x)=5x+2 \]

\(f(x)=x^2-1,\; (2|4)\)

\[ F(x)=\frac{x^3}{3}-x+C \] \[ F(2)=4 \] \[ \frac{8}{3}-2+C=4 \] \[ C=\frac{10}{3} \]

Interaktiver Bedingungs-Trainer

Wähle eine Aufgabe. Rechts siehst du Strategie, Einsetzen und Ergebnis direkt aufgeschlüsselt.

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\(C\) bestimmen

\[ F(x)=x^2+C,\quad F(2)=7 \Rightarrow 4+C=7 \Rightarrow C=3 \] \[ F(x)=x^2+3 \]

Worauf du achten sollst: Zuerst bestimmst du die allgemeine Stammfunktion. Danach setzt du die gegebene Bedingung ein. Erst dadurch wird \(C\) eindeutig festgelegt.

Selbsttest mit Eingabe

Gib jeweils nur die fertige Stammfunktion ohne Leerzeichen-Perfektion ein. Schreib \(C\) nicht mit hinein — sie ist hier schon bestimmt.

Ü1

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktion zu \(f(x)=2x\) mit \(F(1)=4\).

Erst \(F(x)=x^2+C\) bilden, dann die Bedingung einsetzen.

Ü2

Aufgabe 2

Bestimme die Stammfunktion zu \(f(x)=5\) mit \(F(2)=1\).

Denke daran: Die Stammfunktion einer Konstanten ist linear.

Typische Fehler

\(+C\) zu früh weglassen

Die allgemeine Stammfunktion muss zuerst vollständig mit \(+C\) hingeschrieben werden.

Punkt falsch deuten

\((a|b)\) bedeutet immer \(F(a)=b\), also x-Wert einsetzen und y-Wert erhalten.

Nur \(f(x)\) statt \(F(x)\) einsetzen

Die Bedingung bezieht sich auf die Stammfunktion, nicht auf die ursprüngliche Funktion.

\(C\) nicht zurück einsetzen

Nach dem Berechnen von \(C\) muss der Wert wieder in die Stammfunktion eingesetzt werden.

Mini-Check

Prüfe, ob die Grundlogik jetzt sitzt.

Frage 1

Was ist der erste Schritt bei einer Aufgabe mit Zusatzbedingung?

Frage 2

Was bedeutet die Angabe \((2|7)\) für die Stammfunktion?

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